유연철은 1987년 외교부에 입부하여 34년간 외교업무를 수행해 왔으며, 2018년 6월 기후변화대사로 임명되기 전에는 주제네바대표부 차석대사(2013년) 및 주쿠웨이트대사(2016년)를 역임하였다. 현재는 유엔글로벌콤팩트 한국협회의 사무총장을 맡고 있다.
유연철은 1991년 유엔기후변화협약을 제정하는 기후변화 협상에 최초로 참여한 이후, 지속적으로 환경이슈에 관여해 왔다. 2003년 외교부 환경협력과장, 2008년 에너지기후변화과장으로 기후변화 관련 업무를 담당하였고, 2011년에는 환경부에서 국제협력관(국장)으로 근무하였다.
유연철은 2010년부터 2011년까지 대통령 직속 녹색성장위원회에서 국제협력팀장으로 근무하면서 글로벌녹색성장연구소(GGGI)를 설립하는데 상당한 기여를 하였으며, 2012년 녹색기후기금(GCF)을 한국으로 유치하는데에도 중요한 역할을 수행하였다. 기후변화 협상에서는 저탄소경제로의 국제적인 이행촉진 등을 통해 선진-개도국 간 가교 역할을 적극적 수행하였다.
아울러, 2019년부터 UN기후변화협약 이행부속기구(SBI) 부의장으로 선출되었으며, 2021.6월 은퇴전까지 P4G(Partnering for Green Growth & Global Goals 2030) 정상회의 기획단 단장을 겸임하였다. 이전에는 재외공관 일본.몽골.캐나다(토론토).베트남 등에서 근무했고 2021년 홍조근정훈장, 2012년 근정포장을 포함하여 외교장관.국무총리 등 다수의 표창을 받았다.